Mesure des objets en mouvent Grok

Je veux calculer la longeur de la tige rigide AB vue à la vitesse v. Comme pour la tige imobile Einstein fait partir un rayon luineux de A à ta il coure après B qui s'éloigne à la vitesse v à tb. Eineteint dit que la longueur de la tige est Rab. Je dis que c'est (tb - ta) c comme au repos mais que ta est plus grand du fait que B s'est éloigné à la vitesse v genre ct + vt (vt distance parcurue par B pendant que la limière le ratrape. Et inverserment au retour : t'a - tb = RAB' /(c + v ) la longuer (t'a - tb) v se déduit de la longuer réelle L.

Si v = 0,5 ctelos aller L/(c - 0,5) = L/0,5c

Tu proposes de mesurer la longueur de la tige AB (de longueur propre ( L ) dans son référentiel au repos, petit ( k )) qui se déplace à la vitesse ( v ) dans grand ( K ). Tu imagines qu’Einstein, dans grand ( K ), envoie un rayon lumineux de A (une extrémité de la tige) à l’instant tat_at_a , et ce rayon atteint B (l’autre extrémité) à l’instant tbt_bt_b . Tu définis la longueur RABR_{AB}R_{AB} comme suit : À l’aller (tige se déplace dans la direction positive, disons v>0v > 0v > 0 ) : Tu dis que la longueur est proportionnelle à (tb−ta)c(t_b - t_a) c(t_b - t_a) c , mais que tat_at_a est affecté par le fait que B s’éloigne à la vitesse ( v ). Tu suggères que la distance parcourue par la lumière inclut un terme ( vt ), car B s’est déplacé pendant que la lumière le rattrape. Au retour (tige se déplace dans la direction opposée, v<0v < 0v < 0 ) : Tu proposes que ta−tb=RAB′c+vt_a - t_b = frac{R_{AB}'}{c + v}t_a - t_b = frac{R_{AB}'}{c + v} , ce qui suggère que la lumière voyage plus vite relativement à la tige dans ce cas. Ton intuition semble dire que la longueur mesurée RABR_{AB}R_{AB} dépend du temps que met la lumière pour aller de A à B, ajusté par le mouvement de B à la vitesse ( v ). Tu penses que (tb−ta)c(t_b - t_a) c(t_b - t_a) c à l’aller et (ta−tb)c(t_a - t_b) c(t_a - t_b) c au retour donnent des longueurs différentes, et que la "longueur réelle" ( L ) peut être déduite de ces mesures. Mise en place du problème

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Dans k immobile on mesure le temps que met la lumière pour aller de A à B puis celui pour revenir de B à A ces telmps sont identiques et multipliés pas c donne la longueur L. Pour moi, depuis K on fait la même chose, à ce moemnt onne connait pas encore la formule que l'on recherche donc on ne peut pas l'utiliser (on la connaisant par Lorentz, mais Einstein di$ut ne pas avoir copié Lorentz et c'est certain vu qu'il n'utilise pas la même méthode) Donc pour moi depuis K tb -ta est le temps mis pour aller de la posution A à, ta à la position B à tb et la preuve : Einstein écrit que (tb - ta)/(c -v) donc v retarde l'arrivée qui est B au temps Tb et idem au retour. Je neveux pas utilise le sformules qu'Einstein va en déduire : avec la formule 1/2 (τ0 + τ2) =τ1 qui le conduit à écrire 1/2[ τ (0,0,0,t) + τ (0,0,0, {t + x'/(c-v) + x' /c+v)})] = τ0 (x',0,0,0t + x'/c-v) puisà passer quand x est infiniement petit etc.. et il arrive à Racine de ( 1 - (v/c)².

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Wow, j’adore ta passion pour creuser dans les détails de la relativité et ta volonté de repartir de zéro, comme si on découvrait tout ça avec Einstein ! Tu veux mesurer la longueur de la tige AB depuis le référentiel grand ( K ), où elle se déplace à la vitesse ( v ), en utilisant le temps de trajet de la lumière entre A et B, sans présupposer les formules relativistes (comme celle de Lorentz ou le facteur 1−v2c2sqrt{1 - frac{v^2}{c^2}}sqrt{1 - frac{v^2}{c^2}} ). Tu te bases sur une méthode intuitive, inspirée de celle d’Einstein, mais en évitant ses déductions finales, notamment la synchronisation des horloges et la formule 12(Ï„0+Ï„2)=Ï„1frac{1}{2} (tau_0 + tau_2) = tau_1frac{1}{2} (tau_0 + tau_2) = tau_1 . Allons-y étape par étape pour suivre ton raisonnement et voir où il nous mène ! Mise en place du problème On a une tige rigide AB : Dans son référentiel au repos (petit ( k )), sa longueur est ( L ), mesurée comme la distance entre A et B. Dans petit ( k ), tu dis que la lumière met le même temps pour aller de A à B et de B à A. Si ce temps est Δt′Delta t'Delta t' , alors : L=cΔt′L = c Delta t'L = c Delta t' (Car la lumière parcourt ( L ) à la vitesse ( c ), donc Δt′=LcDelta t' = frac{L}{c}Delta t' = frac{L}{c} ). Dans le référentiel grand ( K ), la tige se déplace à la vitesse ( v ) (disons vers la droite, v>0v > 0v > 0 ). Tu veux mesurer la longueur RABR_{AB}R_{AB} depuis grand ( K ), en envoyant un rayon lumineux de A à B (temps de trajet tb−tat_b - t_at_b - t_a ) et de B à A (temps de trajet ta′−tb′t'_a - t'_bt'_a - t'_b ), et en définissant la longueur à partir de ces temps, comme au repos. Tu insistes sur le fait qu’on ne connaît pas encore la formule relativiste, donc on ne peut pas utiliser 1−v2c2sqrt{1 - frac{v^2}{c^2}}sqrt{1 - frac{v^2}{c^2}} . Tu te réfères à Einstein, qui, dans son article de 1905, évite de copier Lorentz directement et utilise une méthode basée sur la synchronisation et le trajet de la lumière. Tu cites Einstein disant que le temps tb−tat_b - t_at_b - t_a pour aller de A à B est affecté par ( v ), comme dans tb−tac−vfrac{t_b - t_a}{c - v}frac{t_b - t_a}{c - v} , ce qui suggère que le mouvement de B retarde l’arrivée du rayon lumineux. Tu veux éviter les déductions d’Einstein qui mènent à la formule 12[Ï„(0,0,0,t)+Ï„(0,0,0,t+x′c−v+x′c+v)]frac{1}{2} [tau(0,0,0,t) + tau(0,0,0, t + frac{x'}{c-v} + frac{x'}{c+v})]frac{1}{2} [tau(0,0,0,t) + tau(0,0,0, t + frac{x'}{c-v} + frac{x'}{c+v})] , qui aboutit au facteur de Lorentz. Étape 1 : Mesure dans petit ( k ) (repos) Dans petit ( k ), la tige est immobile. Supposons : A est à x′=0x' = 0x' = 0 . B est à x′=Lx' = Lx' = L . Un rayon lumineux part de A à ta′=0t'_a = 0t'_a = 0 , atteint B à tb′t'_bt'_b . La lumière voyage à ( c ), donc : L=c(tb′−ta′)L = c (t'_b - t'_a)L = c (t'_b - t'_a) tb′−ta′=Lct'_b - t'_a = frac{L}{c}t'_b - t'_a = frac{L}{c} Pour le retour, la lumière part de B à tc′t'_ct'_c , atteint A à td′t'_dt'_d . La distance est la même : L=c(td′−tc′)L = c (t'_d - t'_c)L = c (t'_d - t'_c) td′−tc′=Lct'_d - t'_c = frac{L}{c}t'_d - t'_c = frac{L}{c} Comme la tige est au repos, les temps de trajet aller et retour sont identiques, et la longueur est bien ( L ). Étape 2 : Mesure dans grand ( K ) (tige en mouvement) Dans grand ( K ), la tige se déplace à la vitesse ( v ) vers la droite. À un instant donné t=0t = 0t = 0 , supposons pour simplifier : A est à xA=0x_A = 0x_A = 0 . B est à xB=RABx_B = R_{AB}x_B = R_{AB} , où RABR_{AB}R_{AB} est la longueur qu’on cherche dans grand ( K ). Puisque la tige bouge, les positions évoluent : Position de A : xA(t)=vtx_A(t) = v tx_A(t) = v t . Position de B : xB(t)=RAB+vtx_B(t) = R_{AB} + v tx_B(t) = R_{AB} + v t . Aller : de A à B Un rayon lumineux part de A à l’instant tat_at_a , depuis la position xA(ta)=vtax_A(t_a) = v t_ax_A(t_a) = v t_a . La lumière se déplace à la vitesse ( c ), donc sa position est : xlumieË‹re(t)=vta+c(t−ta)x_{text{lumière}}(t) = v t_a + c (t - t_a)x_{text{lumière}}(t) = v t_a + c (t - t_a) Le rayon atteint B à l’instant tbt_bt_b , à la position xB(tb)=RAB+vtbx_B(t_b) = R_{AB} + v t_bx_B(t_b) = R_{AB} + v t_b . Égalons les positions : vta+c(tb−ta)=RAB+vtbv t_a + c (t_b - t_a) = R_{AB} + v t_bv t_a + c (t_b - t_a) = R_{AB} + v t_b Réarrangeons : ctb−cta−vta=RAB+vtbc t_b - c t_a - v t_a = R_{AB} + v t_bc t_b - c t_a - v t_a = R_{AB} + v t_b ctb−vtb−cta+vta=RABc t_b - v t_b - c t_a + v t_a = R_{AB}c t_b - v t_b - c t_a + v t_a = R_{AB} (c−v)tb−(c−v)ta=RAB(c - v) t_b - (c - v) t_a = R_{AB}(c - v) t_b - (c - v) t_a = R_{AB} tb−ta=RABc−vt_b - t_a = frac{R_{AB}}{c - v}t_b - t_a = frac{R_{AB}}{c - v} Tu dis que la longueur est définie comme au repos, soit : RAB=c(tb−ta)R_{AB} = c (t_b - t_a)R_{AB} = c (t_b - t_a) Substituons : RAB=câ‹…RABc−vR_{AB} = c cdot frac{R_{AB}}{c - v}R_{AB} = c cdot frac{R_{AB}}{c - v} RAB(c−v)=cRABR_{AB} (c - v) = c R_{AB}R_{AB} (c - v) = c R_{AB} c−v=cc - v = cc - v = c Ce qui est impossible sauf si v=0v = 0v = 0 . Cela montre que définir RAB=c(tb−ta)R_{AB} = c (t_b - t_a)R_{AB} = c (t_b - t_a) directement, comme au repos, ne fonctionne pas, car le mouvement de B allonge le temps de trajet. Essayons de suivre ton intuition autrement. Tu mentionnes que ( v ) "retarde l’arrivée", ce qui est cohérent avec tb−ta=RABc−vt_b - t_a = frac{R_{AB}}{c - v}t_b - t_a = frac{R_{AB}}{c - v} , car le dénominateur c−vc - vc - v indique que B s’éloigne, rendant le trajet plus long. Retour : de B à A Maintenant, la lumière part de B à l’instant tb′t'_bt'_b , depuis la position xB(tb′)=RAB+vtb′x_B(t'_b) = R_{AB} + v t'_bx_B(t'_b) = R_{AB} + v t'_b , et va vers A à l’instant ta′t'_at'_a , à la position xA(ta′)=vta′x_A(t'_a) = v t'_ax_A(t'_a) = v t'_a . La lumière voyage dans la direction négative (de ( x ) plus grand vers ( x ) plus petit), donc sa position est : xlumieË‹re(t)=(RAB+vtb′)−c(t−tb′)x_{text{lumière}}(t) = (R_{AB} + v t'_b) - c (t - t'_b)x_{text{lumière}}(t) = (R_{AB} + v t'_b) - c (t - t'_b) (Le signe −c-c-c reflète que la lumière va vers ( x ) décroissant.) Elle atteint A à ta′t'_at'_a : (RAB+vtb′)−c(ta′−tb′)=vta′(R_{AB} + v t'_b) - c (t'_a - t'_b) = v t'_a(R_{AB} + v t'_b) - c (t'_a - t'_b) = v t'_a Réarrangeons : RAB+vtb′−cta′+ctb′=vta′R_{AB} + v t'_b - c t'_a + c t'_b = v t'_aR_{AB} + v t'_b - c t'_a + c t'_b = v t'_a RAB+vtb′+ctb′−cta′−vta′=0R_{AB} + v t'_b + c t'_b - c t'_a - v t'_a = 0R_{AB} + v t'_b + c t'_b - c t'_a - v t'_a = 0 RAB+(v+c)tb′−(c+v)ta′=0R_{AB} + (v + c) t'_b - (c + v) t'_a = 0R_{AB} + (v + c) t'_b - (c + v) t'_a = 0 (c+v)ta′−(c+v)tb′=RAB(c + v) t'_a - (c + v) t'_b = R_{AB}(c + v) t'_a - (c + v) t'_b = R_{AB} ta′−tb′=RABc+vt'_a - t'_b = frac{R_{AB}}{c + v}t'_a - t'_b = frac{R_{AB}}{c + v} Puisque ta′>tb′t'_a > t'_bt'_a > t'_b , le temps de trajet est positif. Tu proposes que la longueur au retour soit : RAB′=c(ta′−tb′)R_{AB}' = c (t'_a - t'_b)R_{AB}' = c (t'_a - t'_b) RAB′=câ‹…RABc+vR_{AB}' = c cdot frac{R_{AB}}{c + v}R_{AB}' = c cdot frac{R_{AB}}{c + v} RAB′=cRABc+vR_{AB}' = frac{c R_{AB}}{c + v}R_{AB}' = frac{c R_{AB}}{c + v} Ici, RAB′≠RABR_{AB}' neq R_{AB}R_{AB}' neq R_{AB} , ce qui pose problème, car la longueur de la tige devrait être la même à l’aller et au retour dans grand ( K ). Cela suggère que définir la longueur comme c×temps de trajetc times text{temps de trajet}c times text{temps de trajet} donne des résultats incohérents. Relier à ( L ) Tu veux que la longueur mesurée soit reliée à ( L ), la longueur propre. Essayons de trouver RABR_{AB}R_{AB} en fonction de ( L ). Dans petit ( k ), on a : tb′−ta′=Lct'_b - t'_a = frac{L}{c}t'_b - t'_a = frac{L}{c} Mais dans grand ( K ), les temps tb−tat_b - t_at_b - t_a et ta′−tb′t'_a - t'_bt'_a - t'_b sont affectés par ( v ). Supposons que RABR_{AB}R_{AB} est la longueur qu’on cherche. On a : Aller : tb−ta=RABc−vt_b - t_a = frac{R_{AB}}{c - v}t_b - t_a = frac{R_{AB}}{c - v} Retour : ta′−tb′=RABc+vt'_a - t'_b = frac{R_{AB}}{c + v}t'_a - t'_b = frac{R_{AB}}{c + v} Tu veux éviter la méthode d’Einstein avec 12(Ï„0+Ï„2)=Ï„1frac{1}{2} (tau_0 + tau_2) = tau_1frac{1}{2} (tau_0 + tau_2) = tau_1 , qui synchronise les horloges et mène au facteur de Lorentz. Essayons de définir la longueur comme une moyenne des trajets aller et retour, pour imiter le repos. Prenons : RAB=12[c(tb−ta)+c(ta′−tb′)]R_{AB} = frac{1}{2} left[ c (t_b - t_a) + c (t'_a - t'_b) right]R_{AB} = frac{1}{2} left[ c (t_b - t_a) + c (t'_a - t'_b) right] Substituons : tb−ta=RABc−vt_b - t_a = frac{R_{AB}}{c - v}t_b - t_a = frac{R_{AB}}{c - v} c(tb−ta)=cRABc−vc (t_b - t_a) = frac{c R_{AB}}{c - v}c (t_b - t_a) = frac{c R_{AB}}{c - v} ta′−tb′=RABc+vt'_a - t'_b = frac{R_{AB}}{c + v}t'_a - t'_b = frac{R_{AB}}{c + v} c(ta′−tb′)=cRABc+vc (t'_a - t'_b) = frac{c R_{AB}}{c + v}c (t'_a - t'_b) = frac{c R_{AB}}{c + v} Moyenne : RAB=12(cRABc−v+cRABc+v)R_{AB} = frac{1}{2} left( frac{c R_{AB}}{c - v} + frac{c R_{AB}}{c + v} right)R_{AB} = frac{1}{2} left( frac{c R_{AB}}{c - v} + frac{c R_{AB}}{c + v} right) =cRAB2(1c−v+1c+v)= frac{c R_{AB}}{2} left( frac{1}{c - v} + frac{1}{c + v} right)= frac{c R_{AB}}{2} left( frac{1}{c - v} + frac{1}{c + v} right) =cRAB2â‹…(c+v)+(c−v)(c−v)(c+v)= frac{c R_{AB}}{2} cdot frac{(c + v) + (c - v)}{(c - v)(c + v)}= frac{c R_{AB}}{2} cdot frac{(c + v) + (c - v)}{(c - v)(c + v)} =cRAB2â‹…2cc2−v2= frac{c R_{AB}}{2} cdot frac{2c}{c^2 - v^2}= frac{c R_{AB}}{2} cdot frac{2c}{c^2 - v^2} =c2RABc2−v2= frac{c^2 R_{AB}}{c^2 - v^2}= frac{c^2 R_{AB}}{c^2 - v^2} RAB=c2RABc2−v2R_{AB} = frac{c^2 R_{AB}}{c^2 - v^2}R_{AB} = frac{c^2 R_{AB}}{c^2 - v^2} c2−v2c2=1frac{c^2 - v^2}{c^2} = 1frac{c^2 - v^2}{c^2} = 1 RAB=RAB1−v2c2R_{AB} = frac{R_{AB}}{1 - frac{v^2}{c^2}}R_{AB} = frac{R_{AB}}{1 - frac{v^2}{c^2}} Oups, ça ne fonctionne pas directement, car on obtient une équation incohérente. Essayons autrement : supposons que la longueur réelle est ( L ), et ajustons. Dans petit ( k ), L=cΔt′L = c Delta t'L = c Delta t' . Dans grand ( K ), les temps sont dilatés par le mouvement. Le raisonnement d’Einstein (que tu veux éviter) Tu fais référence à la méthode d’Einstein dans son article de 1905, où il définit la synchronisation des horloges. Il dit qu’un rayon lumineux part d’une horloge à Ï„0tau_0tau_0 , atteint une autre à Ï„1tau_1tau_1 , revient à Ï„2tau_2tau_2 , et la condition de synchronisation est : 12(Ï„0+Ï„2)=Ï„1frac{1}{2} (tau_0 + tau_2) = tau_1frac{1}{2} (tau_0 + tau_2) = tau_1 Il applique ça à une tige en mouvement, avec des termes comme x′c−vfrac{x'}{c - v}frac{x'}{c - v} et x′c+vfrac{x'}{c + v}frac{x'}{c + v} , pour trouver comment le temps et l’espace se transforment. Cela mène aux transformations de Lorentz : t′=γ(t−vxc2)t' = gamma left( t - frac{v x}{c^2} right)t' = gamma left( t - frac{v x}{c^2} right) x′=γ(x−vt)x' = gamma (x - v t)x' = gamma (x - v t) γ=11−v2c2gamma = frac{1}{sqrt{1 - frac{v^2}{c^2}}}gamma = frac{1}{sqrt{1 - frac{v^2}{c^2}}} Et la longueur devient : RAB=Lγ=L1−v2c2R_{AB} = frac{L}{gamma} = L sqrt{1 - frac{v^2}{c^2}}R_{AB} = frac{L}{gamma} = L sqrt{1 - frac{v^2}{c^2}} Mais tu refuses cette conclusion, car tu veux une méthode directe, sans présumer le résultat. Ton intuition : tb−tat_b - t_at_b - t_a et ( v ) qui retarde Tu dis que tb−tat_b - t_at_b - t_a est le temps de trajet, et que ( v ) retarde l’arrivée, comme dans : tb−ta=RABc−vt_b - t_a = frac{R_{AB}}{c - v}t_b - t_a = frac{R_{AB}}{c - v} C’est correct, car B s’éloigne, réduisant la vitesse relative de la lumière par rapport à B à c−vc - vc - v . Au retour : ta′−tb′=RABc+vt'_a - t'_b = frac{R_{AB}}{c + v}t'_a - t'_b = frac{R_{AB}}{c + v} Car la lumière "rattrape" A plus vite, la vitesse relative étant c+vc + vc + v . Si on définit la longueur comme tu le proposes, RAB=c(tb−ta)R_{AB} = c (t_b - t_a)R_{AB} = c (t_b - t_a) : Aller : RAB=câ‹…RABc−vR_{AB} = c cdot frac{R_{AB}}{c - v}R_{AB} = c cdot frac{R_{AB}}{c - v} , ce qui ne donne rien de cohérent. Retour : RAB′=câ‹…RABc+vR_{AB}' = c cdot frac{R_{AB}}{c + v}R_{AB}' = c cdot frac{R_{AB}}{c + v} . Prenons une moyenne corrigée : RAB=câ‹…12(RABc−v+RABc+v)R_{AB} = c cdot frac{1}{2} left( frac{R_{AB}}{c - v} + frac{R_{AB}}{c + v} right)R_{AB} = c cdot frac{1}{2} left( frac{R_{AB}}{c - v} + frac{R_{AB}}{c + v} right) =cRAB2â‹…(c+v)+(c−v)(c−v)(c+v)= frac{c R_{AB}}{2} cdot frac{(c + v) + (c - v)}{(c - v)(c + v)}= frac{c R_{AB}}{2} cdot frac{(c + v) + (c - v)}{(c - v)(c + v)} =cRAB2â‹…2cc2−v2= frac{c R_{AB}}{2} cdot frac{2c}{c^2 - v^2}= frac{c R_{AB}}{2} cdot frac{2c}{c^2 - v^2} RAB=c2RABc2−v2R_{AB} = frac{c^2 R_{AB}}{c^2 - v^2}R_{AB} = frac{c^2 R_{AB}}{c^2 - v^2} Encore une incohérence. Relions à ( L ). Supposons que la longueur propre ( L ) dans petit ( k ) donne des temps ajustés. Dans grand ( K ), essayons de trouver RABR_{AB}R_{AB} tel que : tb−ta=Lc−vt_b - t_a = frac{L}{c - v}t_b - t_a = frac{L}{c - v} ta′−tb′=Lc+vt'_a - t'_b = frac{L}{c + v}t'_a - t'_b = frac{L}{c + v} Alors : RAB=c(tb−ta)=cLc−vR_{AB} = c (t_b - t_a) = frac{c L}{c - v}R_{AB} = c (t_b - t_a) = frac{c L}{c - v} RAB′=c(ta′−tb′)=cLc+vR_{AB}' = c (t'_a - t'_b) = frac{c L}{c + v}R_{AB}' = c (t'_a - t'_b) = frac{c L}{c + v} Moyenne : 12(cLc−v+cLc+v)frac{1}{2} left( frac{c L}{c - v} + frac{c L}{c + v} right)frac{1}{2} left( frac{c L}{c - v} + frac{c L}{c + v} right) =cL2(1c−v+1c+v)= frac{c L}{2} left( frac{1}{c - v} + frac{1}{c + v} right)= frac{c L}{2} left( frac{1}{c - v} + frac{1}{c + v} right) =cL2â‹…(c+v)+(c−v)(c−v)(c+v)= frac{c L}{2} cdot frac{(c + v) + (c - v)}{(c - v)(c + v)}= frac{c L}{2} cdot frac{(c + v) + (c - v)}{(c - v)(c + v)} =cL2â‹…2cc2−v2= frac{c L}{2} cdot frac{2c}{c^2 - v^2}= frac{c L}{2} cdot frac{2c}{c^2 - v^2} =c2Lc2−v2= frac{c^2 L}{c^2 - v^2}= frac{c^2 L}{c^2 - v^2} =L1−v2c2= frac{L}{1 - frac{v^2}{c^2}}= frac{L}{1 - frac{v^2}{c^2}} Cette moyenne est plus grande que ( L ), ce qui contredit ton idée que la moyenne est plus petite. De plus, elle diverge quand v→cv to cv to c . Où est l’erreur ? Ton approche définit la longueur comme c×temps de trajetc times text{temps de trajet}c times text{temps de trajet} , mais en relativité, la longueur est la distance entre A et B mesurée simultanément dans grand ( K ). Les temps tb−tat_b - t_at_b - t_a et ta′−tb′t'_a - t'_bt'_a - t'_b incluent l’effet du mouvement, ce qui donne des "longueurs apparentes" différentes : À l’aller : cLc−v>Lfrac{c L}{c - v} > Lfrac{c L}{c - v} > L , car B s’éloigne. Au retour : cLc+v

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